\subsubsection{平面内任意两点间的距离}

\begin{wrapfigure}[8]{r}{6cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-8}
    \caption{}\label{fig:14-8}
\end{wrapfigure}

设 $P_1(x_1,\; y_1)$，$P_2(x_2,\; y_2)$ 是坐标平面内的任意两点（图 \ref{fig:14-8}），
  从点 $P_1$，$P_2$ 分别画 $x$ 轴的垂线 $P_1M_1$，$P_2M_2$，与 $x$ 轴交于点 $M_1(x_1,\; 0)$，$M_2(x_2,\; 0)$。
再从点 $P_1$，$P_2$ 分别画 $y$ 轴的垂线 $P_1N_1$，$P_2N_2$，与 $y$ 轴交于点 $N_1(0,\; y_1)$，$N_2(0,\; y_2)$。
直线 $P_1N_1$ 与 $P_2M_2$ 相交于点 $Q$。

因为 $\triangle P_1QP_2$ 是直角三角形，根据勾股定理，得

\begin{tblr}{columns={mode=math}, column{1}={10em}}
                & P_1P_2^2 = P_1Q^2 +QP_2^2 \juhao \\
    \because    & P_1Q = M_1M_2 = |x_2 - x_1| \douhao \\
                & QP_2 = N_1N_2 = |y_2 - y_1| \douhao \\
    \therefore  & \begin{aligned}[t]
                        P_1P_2^2 &= |x_2 - x_1|^2 + |y_2 - y_1|^2 \\
                                 &= (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \juhao
                   \end{aligned}
\end{tblr}

由此得到 $P_1(x_1,\; y_1)$，$P_2(x_2,\; y_2)$ 两点间的距离公式：
\begin{center}
    \framebox{ \quad $\bm{P_1P_2 = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$}。\quad }
\end{center}


\liti 求两点 $P_1(-3,\; 5)$，$P_2(1,\; 2)$ 间的距离。

\jie $x_1 = -3$，$y_1 = 5$； $x_2 = 1$，$y_2 = 2$。

代入两点间的距离公式，得

\qquad $\begin{aligned}[t]
    P_1P_2 & = \sqrt{[1 - (-3)]^2 + (2 - 5)^2} \\
           &= \sqrt{4^2 + (-3)^2} \\
           &= 5 \juhao
\end{aligned}$


\liti 在图 \ref{fig:14-9} 给出的零件图上（如果没有特别注明，本书中零件图上的尺寸单位都是毫米），
选择如图 \ref{fig:14-10} 所示的坐标系，分别求孔心 $A$，$B$ 及 $B$，$C$ 间的距离（精确到 $0.01$ 毫米）。


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-9}
    \caption{}\label{fig:14-9}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7.5cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch14-10}
    \caption{}\label{fig:14-10}
    \end{minipage}
\end{figure}

\jie 孔心的坐标是
$$ A(0,\; 0) \nsep B(28,\; 26) \nsep C(48,\; -15) \juhao $$
将点的坐标代入两点间的距离公式，得
\begin{align*}
    & AB = \sqrt{(28 - 0)^2 + (26 - 0)^2} = \sqrt{1460} \approx 38.21 \douhao \\
    & BC = \sqrt{(48 - 28)^2 + (-15 - 26)^2} = \sqrt{2081} \approx 45.62 \douhao
\end{align*}
即孔心 $A$，$B$ 间的距离约是 $38.21$ 毫米， $B$，$C$ 间的距离约是 $45.62$ 毫米。


\lianxi
\begin{xiaotis}

\jiange
\begin{minipage}{9cm}

\xiaoti{求下列两点间的距离：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$P_1(-1,\; 0)$，$P_2(2,\; 0)$；}

    \xxt{$P_1(0,\; 6)$，$P_2(0,\; -2)$；}

    \xxt{$A(-2,\; 0)$，$B(-4,\; 3)$；}

    \xxt{$A(2,\; -5)$，$C(2,\; 3)$；}

    \xxt{$M(-3,\; 8)$，$N(-1,\; -2)$；}

    \xxt{$O(0,\; 0)$，$P(2,\; -3)$；}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{如图，已知零件图上孔心的坐标为 $A(-20,\; 50)$，$B(40,\; 0)$，$C(-40,\; 0)$，
    求每两孔中心间的距离（精确到 $0.01$ 毫米。）
}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \input{../pic/czds4-ch14-subsec2-2-lianxi-2}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{figure}
\end{minipage}

\jiange
\xiaoti{甲船在某港口东 $50$ 海里、北 $30$ 海里处，乙船在同一港口东 $17$ 海里、南 $26$ 海里处。
    选择坐标系求甲、乙两船间的距离。
}

\end{xiaotis}

